Bien, un core (núcleo) se refiere a un procesador con su propia memoria caché, y su manejo interno de hilos (threads). Ahora un dual core o procesador de doble núcleo es simplemente dos procesadores en un solo chasís (die). Y un quad-core, son cuatro núcleos encapsulado en un solo chasis.
Aunque si bien por ejemplo, los procesadores que tienen doble núcleo, algunos comparten la memora caché entre sí. En el caso de Intel, que tiene "Core 2 duo" son procesadores que comparten memoria cache, y el procesador "Core 2 Quad" es simplemente dos "Core 2 duo" encapsulados en un mismo chasis (die); esto principalmente para manter costos bajos.

La ventaja de tener un procesador de varios núcleos, es porque te permite el procesamiento en paralelo (dos o más tareas al mismo tiempo -depende del número de núcleos-); al contrario de los procesadores anteriores (léase Pentium), que eran multitareas (multitasking) y no verdadero paralelismo. Multitasking hace varias tareas a la vez, por partes pero no al mismo tiempo, y da la sensación de que se estan haciendo las tareas o ejecutando los programas al mismo tiempo.
El multi-core, te permite por ejemplo, descomprimir un archivo, y a la vez escuchar musica, o ver videos al mismo tiempo sin sentir que tu computadora muestra 'saltos' o que se 'congela' por ratitos.
Mucho depende en qué tareas se use los multi-core, y cómo las aplicaciones esten desarrolladas para aprovechar al maximo los procesadores multi-core. Dicho eso, un procesador de doble núcleo , digamos a 2Ghz, es posible que tenga casi el mismo o mayor rendimiento que un procesador de 4Ghz; ya que tambien tienen que ver las características en sí de cada procesador contando con los de toda la PC en sí. (memoria cache, velocidad del bus, latencia en memorias, etc).
Qué beneficios tiene un Quad Core sobre un Dual Core?
Es mejor un Dual Core de mayor velocidad o un Quad Core de menor velocidad?
Para la primer pregunta, es que te permite correr varias aplicaciones al mismo tiempo sin que tu PC sufra ralentización.
Para la segunda pregunta, depende qué tareas vas a hacer. Algunas personas ejecutan una aplicacion, o a lo mucho dos, ya que no les interesa o no necesitan hacer otra cosa (por ejemplo solo requieren descomprimir archivos y uno a la vez, o solo jugar un videojuego) para estos casos se recomienda un procesador de dóble nucleo con el mayor procesamiento que se pueda comprar.
Para el caso que una persona necesite ejecutar varias aplicaciones al mismo tiempo (por ejemplo decodificar música o video, Y a la vez escuchar música, Y a la vez trabajar con herramientas multimedia, Y a la vez ejecutar otras aplicaciones) entonces es recomendable un procesador de 4 núcleos.
Como era de esperarse, el multi-core (varios procesadores, pero pocos) no es exclusivo para las computadoras, tambien se esta utilizando el multi-core en, por ejemplo, tarjetas gráficas, chips para consolas de videojuegos, etc.
